미적분학 Calculus) 로피탈의 정리2

안녕하세영! 오늘도 스튜어트 미분적분학 9E를 풀어보아영.

문제 28. x→0+일 때 lim(1/x-1/tanx) Calculus, Metric Edition - James Stewart 스튜어트 미분적분학 9E 로피탈의 정리2 28번 이 문제는 극한값을 바로 구할 수 없기 때문에 로피탈 법칙을 적용할 거예영. 스튜어트 미분적분학 9E 로피탈의 정리2 28번 주어진 식은 x→0+일 때 lim(1/x-1/tanx)=lim(tanx-x)/xtanx로 변형이 가능한데영, x에 0+를 대입하면 0/0꼴이 되지영?

따라서 로피탈 법칙을 적용할 수 있어영. 분자와 분모를 각각 미분하면, lim(tanx-x)/xtanx=lim(sec2x-1)/(tanx+xsec2x)이 돼영.

여기서 1+tan2x=sec2x를 활용해 분자를 tan2x로 바꿔 줍시다. 그러면 주어진 식은 limtan2x/(tanx+xsec2x)가 됩니다.

식을 좀 더 정리하기 위해 tanx=sinx/cosx, secx=1/cosx...